Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri ne kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar , hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar .Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı .Avlanmak ve balık tutmak için silahları , birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler .Yontma Taş Devri nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler . Fransa ve İspanya daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerinin ayinsel bir anlamı olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı.
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki , yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı .Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır.
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith in insan aklının ürünü en soyut düşünceler olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; bir insan değil sadece insan kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu.
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek : Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar , ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim .Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup , bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146 sı onluk , 106 sı onluk , onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım .Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika da Mayalar ve Avrupa da Keltler tarafından kullanıldı.
Sayılar kümelere ayrılarak , tahtanın üstüne çentik , ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır.
Yontma Taş Devri ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937 de Vestonica da bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25 i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı .Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu . Böylece , sık sık söylenen eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı . görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu . Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir . Fakat gerçek.
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5 erli 10 arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20 nin 10+10 değil de 102 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı .Bölme , 10 un vücudun yarısı olarak gösterilmesiyle başladı , ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi .Kuzey Amerika da kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu , çoğu durumda bu ½ ydi .Bazen 1/3 ya da ¼ de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncil de ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar.
Şaşırtıcı 1. Simetri : 1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Harikulade 2. Simetri : 1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
Akıllara durgunluk veren 3. Simetri: 9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
Ve olağanüstü bir 4. simetri: 1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321
-Pascal Üçgenini (Binom Üçgeni) aslında Ömer Hayyam bulmuştur...
- Galois, 21 yaşında bir düello sonucu ölmüştür. Uzun yıllar yaşasaydı matematiğe daha ne gibi katkılar yapardı sorusu tarihçileri her zaman düşündürmüştür...
MATEMATİK FİNALİ 4 tane üniversite öğrencisi, uyanamadıkları için matematik finaline geç kalırlar ve okula gidince hocaya arabalarının lastiğinin patladığını söylerler… Hoca ilk basta inanmaz ama öğrencilerinin yalvarmalarına dayanamayarak, onları 3 gün sonra sınav yapacağını söyler. Sınav günü gelince hoca, 4 öğrencinin hepsini bos bir salonun ayrı ayrı köşelerine oturtur. Sınav geçme sistemi şöyledir: 100 üzerinden 50 puan alan herkes sınavı geçebilir… Hocanın hazırladığı sınavda ise ön sayfada 10′ar puanlık 4 tane basit matematik sorusu vardır… Bunları kolayca çözerler. Arka sayfada ise 60 puanlık 1 soru vardır: “Hangi lastik patladı?
SAYISAL LOTO İki Matematikçi, aralarinda mesleklerinin ne kadar önemli olduğunu konusuyorlar. Sonra içlerinden biri diğerine dert yaniyor:
“Ah azizim ah! Matematiğe yeterince önem verilmiyor. Aslında konuya devlet el atmalı ve matematik bilmeyenlerden vergi toplanmalı.
Diğeri cevap veriyor:
“Sayısal Loto da bu ise yarıyor zaten...
MATEMATİK Emekli öğretmen yolda giderken, yanına son model bir araba durmuş. İçinden çıkan bir genç:
- Hocam sizi gideceğiniz yere kadar götüüreyim.
Öğretmen genci tanımamış. Genç:
‘Benim hocam Hacıbekir, tanımadın mı? Kayseri Lisesinden’
Öğretmen biraz hafızasını yoklayınca genci tanımış.
- Lan oğlum Hacıbekir seni tanıdım ama, bu ne zenginlik, sen fakir bir öğrenciydin.
Hacıbekir anlatır:
-Öyleydim hocam ama, okuldan sonra ticarrete başladım. Kısa zamanda biraz para kazandık.
Bunu duyan öğretmen iyice şaşırır:
- Lan oğlum ticaret hesap işidir. Ben seni matematikten sınıfta bırakmamışmıydım. Sen sanıl ticaret yapıyorsun?
- Valla hocam matematik falan bilmem. (11)’e alıp (4)’e satıyorum. Aradaki %3′le de geçinip gidiyoruz.
TASAVVUR Bir Matematikçi ve bir Mühendis, ünlü bir Fizikçi’ nin seminerine katılırlar. Seminer 9 boyutlu uzayda cereyan eden bir takım işlemler içermektedir. Matematikçi’ nin seminerden oldukça keyif alır görünmesine karşın, Mühendis çok zorlanmaktadır. Başı çatlayacak derecede ağrımaya başlayınca dayanamayıp sorar: - Bu garip ve zor şeyleri nasıl anlayabiliyorsun?
Matematikçi gayet sakin cevap verir;
- Sadece olayı tasavvur ediyorum.
- 9 boyutlu bir uzayı nasıl tasavvur edebilirsin ki?
- Aslında çok kolay. Sadece n boyutlu bir uzay tasavvur ediyorum. Daha sonra n ‘i 9 ‘a götürüyorum.
UÇAK YOLCULUĞU İki Matematikçi bir uçak seyahatine başlarlar. Havalandıktan bir saat sonra bir anons duyulur;
- Sayın yolcularımız. Uçağımızın dört motorundan biri arızalanmıştır. Endişe etmeyiniz. Üç motorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat beş saat sürecek yolculuğumuz yedi saate uzamıştır.
Yola devam ederler. Kısa bir süre sonra yeni bir anons duyulur;
- Sayın yolcularımız. Uçağımızın sağlam olan üç motorundan biri arızalanmıştır. Endişe
etmeyiniz. İki motorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat yolculuğumuz on saate uzamıştır.
Derken az bir vakit sonra üçüncü anons duyulur:
- Sayın yolcularımız. Motorlarımızdan biri daha arızalanmıştır. Fakat paniğe kapılmayınız. Tek motorla da uçuşu tamamlayabiliriz. Ancak yolculuğumuz on sekiz saate uzamıştır.
Bu son anons üzerine Matematikçilerden biri şöyle der:
- Umarım bu son motor da arızalanmaz. Yoksa sonsuza kadar burada kalacağız…
FONKSİYONLAR Fonksiyonlar bir gün bir seminer tertiplemişler. Seminere birkaç fonksiyon katılmış. Her fonksiyon özellikleri hakkında bilgiler vermeye başlamış. Derken içlerinden biri kapıya bakarak aniden bağırmış “Dikkat türev geliyor!”. Hepsi apar topar kaçmaya başlamışlar. Ancak ex hiç istifini bozmamış. Türev ağır adımlarla içeri girmiş ve tek başına oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiş. Hayır, ben ex im diye yanıtlamış kendine güvenen bir edayla. “Yaa” demiş türev. “Peki, sana benim x’e göre türev alacağımı kim söyledi?”
HERŞEY AYNI RENKTEDİR Teorem: Herşey aynı renktedir. İspat: Bir önceki teorem kullanılarak denebilir ki: “Her x için, eğer x bir atsa, x aynı renktedir”. Burada kullanılan “x bir atsa” ifadesi herşey için kullanılabileceğinden herşey aynı renktedir.
TÜREV Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuş, sıfıra ne kadar hızla yakınsadıkları gibi konular üzerinde tartışıyorlarmış. Derken içlerinden biri kapıya bakarak aniden bağırmış “Dikkat türev geliyor!”. Hepsi apar topar sandalyelerinin altına saklanmışlar, ancak ex hiç istifini bozmamış. Türev ağır adımlarla içeri girmiş ve tek başına oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiş. Hayır, ben ex’im diye yanıtlamış kendine güvenen bir tavırla. “Yaa” demiş türev. “Peki benim x’e göre türev alacağımı kim söyledi?”
NAZİ KAMPI Hitler birgün kamplardan birini ziyaret ederken oradaki tutuklulardan birine sorar:
- 5, 3 daha kaç eder?
Mahkum 6 diye cevap verdiğinde yanındaki kurmaya döner ve kızgın bir ses tonuyla:
- Ne biçim toplama kampı bu?..
diye azarlar.
MECLİSTE Osman Yüksel’in milletvekili olduğu yıllardır. Bir gün meclis kürsüsünde, kendisine lâf atan vekillere dayanamaz ve:
“-Bu meclistekilerin yarısı eşektir!” der ve iner kürsüden.
Bunun üzerine meclis karışır ve herkes kendisinden sözünü geri almasını ister. Arkadaşlarının da ricası ile tekrar kürsüye çıkar ve keskin zekâsını gösteren ve vekilleri rahatlatan şu sözleri söyler:
“-Bu meclistekilerin yarısı eşek değildir!”
BİR DERVİŞ Garip dervişin biri büyük bir köşkün önünden geçerken evin ‘av meraklısı ve zalim’ olan beyi, yardımcıları ile ava gitmek için evden çıkıyorlardır. Dervişle selamlaşırlar. Aksilik bu ya o gün hiç bir şey vuramadan dönerler. Bey çok sinirlidir:
“-Sabah ava giderken karşılaştığımız o dervişi bulun çabuk! Onun yüzünden işlerim ters gitti. Uğursuzu getirin bana!”
Yardımcıları hemen dervişi bulup beyin huzuruna çıkarırlar. Bey kükrer:
“-Bre uğursuz adam! Senin yüzünden elimiz boş geldik! Hiçbir şey vuramadık! Tiz vurun kellesini!”
Derviş, beye şöyle der:
“-Beyim sabah selamlaştık. Siz hiçbir şey vuramadınız. Ben ise kellemi kaybediyorum. Siz söyleyin, hangimiz daha uğursuzuz?”
TERS MANTIK Temel coğrafya öğretmenine sorar:
- İstanbul’dan Ankara’ya uzaklık kaç kilometre?..
- 450…
diye yanıtlar öğretmeni. Temel bunun üzerine:
- Peki Ankara’dan İstanbul’a uzaklık kaç kilometre?.. diye sorduğunda öğretmen hiç düşünmeden:
- Aynı uzaklık, 450…
diye cevapladığında Temel biraz duraklar ve itiraz eder:
- Öyle olmayabilir, mesela Ramazan Bayramı’ndan Kurban Bayramı’na iki, Kurban Bayramı’ndan Ramazan Bayramı’na ise on ay var…
YAZI-TURA Bir matematik öğrencisi finale çalışamamıştır ve sınava girdiğinde bakar ki sorular doğru/yanlış tipinde. Ne yapacağı bellidir. Çıkarır bir bozuk para ve yazı-tura atarak imtihanı cevaplandırmaya başlar. Gözetmen de bir yandan takip etmektedir onu. Bu şekilde iki saat geçer. Herkes sınıfı terketmiştir fakat o hala yazı tura atmaktadır. Gözetmen dayanamaz ve gelip sorar:
- Sınava çalışmadığın ortada. Kitapçığı bile açmadın ve yazı-tura atarak cevaplandırıyorsun. Peki seni bu kadar uzun süre meşgul eden nedir?
Öğrenci hiç istifini bozmaz ve bozuk parayı fırlatmaya devam eder:
- Şşşt, cevapları kontrol ediyorum.
YARDIM TALEBİ Çocuk babasından matematik ödevini yapmasına yardım etmesini ister ve
- Doğru olmaz oğlum.
cevabını alır fakat o ısrarlıdır:
- En azından dene baba…
DENEY Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir kimyacıyı bir ay süreliğine ayrı ayrı odalara kapatmışlar. Odalarda kilitli bir buzdolabı ve çeşitli araç gereç varmış. Bir ay sonunda odaların kapılarını açıp bakmışlar. Fizikçi mekanik bir makine yaparak buzdolabının kapısını kırmış ve karnını doyurmuş. Kimyacı çeşitli elementleri karıştırarak bir sıvı yapıp buzdolabının kapısını eritmiş. Son olarak matematikçinin odasına girmişler. Matematikçinin kurumuş cesedi duvara dayanmış bir halde yerde kanla şunlar yazılıymış:
Teorem: Buzdolabını açamazsam ölürüm.
İspat: Buzdolabını açtığımı varsayalım…
KAÇ KİŞİ VAR? Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir biyolog bir kafeye oturmuş karşıdaki eve bakarlarken eve iki kişi girdiğini görürler. Bir müddet sonra evden üç kişi çıktığını gördüklerinde olayı şu şekilde yorumlarlar:
Fizikçi: Gözlem hatası yaptım.
Biyolog: İçerde ürediler.
Matematikçi: Eve bir kişi daha girerse içerde hiç kimse kalmayacak.
Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak ; parmak , ayak , karış gibi basit ölçüler kullanıldı. Arşın , kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır. Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa da kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler. Örneğin ; Düz sözcüğü germek sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir. Doğru ve Keten kumaş sözcükleri , dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir .Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi.
Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu. Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması , sazların örülmesi , sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı , daha sonra da metallerin işlenmesi , düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi. Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devri nde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; eş şekiller kullanılırdı. Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar , bazılarında ise kutsal sayılar yer alıyordu. Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır.
Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır. Bunların çok güzel örneklerine Girit teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında, daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır. Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir, ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır.
Taş Devri dinlerinde , doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz. Dinsel törenler büyü ile iç içeydi. Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda, heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu. 3,4,7 gibi sihirli sayılar, Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı. Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar, matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir. Modern sayı bilimi , Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devri nin büyü törenlerinin mirasıdır.
